Nash-egyensúly. Játékelmélet közgazdászoknak (John Nash)

2024 Szerző: Henry Conors | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-02-12 08:31

Az 1930-as években John von Neumann és Oscar Morgenstern a matematika egy új és érdekes ágának, a „játékelméletnek” nevezett megalapítóivá vált. Az 1950-es években a fiatal matematikus, John Nash érdeklődni kezdett ez iránt. 21 évesen írt disszertációjának témája az egyensúlyelmélet lett. Így született meg a „Nash Equilibrium” nevű új játékstratégia, amely sok évvel később – 1994-ben – Nobel-díjat kapott.

A szakdolgozat megírása és az általános elismerés közötti hosszú szakadék a matematikus próbatételévé vált. A felismerés nélküli zsenialitás súlyos mentális zavarokhoz vezetett, de John Nash kiváló logikai elméjének köszönhetően meg tudta oldani ezt a problémát. Nash-egyensúly-elmélete Nobel-díjat kapott, és életét a Beautiful mindben forgatták.

Röviden a játékelméletről

Mivel a Nash egyensúlyelmélet megmagyarázza az emberek viselkedését interakciós körülmények között, érdemes átgondolni a játékelmélet alapfogalmait.

A játékelmélet a résztvevők (ügynökök) viselkedését vizsgálja az egymással való interakcióban, mint egy játék, amikor az eredmény több ember döntésétől és viselkedésétől függ. A résztvevő a mások viselkedésére vonatkozó előrejelzései alapján hoz döntéseket, amit játékstratégiának neveznek.

Létezik egy domináns stratégia is, amelyben a résztvevő a legjobb eredményt éri el a többi résztvevő viselkedése esetén. Ez a játékos legjobb win-win stratégiája.

A fogoly dilemmája és tudományos áttörés

A fogolydilemma egy olyan játék esete, ahol a résztvevők racionális döntésekre kényszerülnek, közös cél elérésére az alternatívák konfliktusával szemben. A kérdés az, hogy ezek közül melyiket választja, felismerve személyes és általános érdekét, valamint azt, hogy mindkettőt nem lehet megszerezni. Úgy tűnik, hogy a játékosok kemény játékkörnyezetben vannak börtönben, ami néha nagyon produktív gondolkodásra készteti őket.

Ezt a dilemmát John Nash amerikai matematikus vizsgálta meg. Az általa elért egyensúly a maga módján forradalmi volt. Ez az új gondolat különösen erősen befolyásolta a közgazdászok véleményét arról, hogy a piaci szereplők hogyan hoznak döntéseket, figyelembe véve mások érdekeit, szoros kölcsönhatásban és az érdekek metszéspontjában.

A játékelméletet a legjobb konkrét példákon keresztül tanulmányozni, mivel ez a matematikai tudományág maga nem szárazon elméleti.

Példa a rab dilemmájára

Például két ember rablást követett el, a rendőrség kezére került, és külön cellákban hallgatják ki őket. Ugyanakkor a rendőrök minden résztvevőnek kedvező feltételeket kínálnak, amelyek mellett szabadon engedik, ha párja ellen tanúskodnak. Mindegyikéneka bűnözőknek a következő stratégiájuk van, amelyeket fontolóra vesz:

1. Mindketten egyszerre tanúskodnak, és 2,5 év börtönt kapnak.
2. Mindketten hallgatnak, és egy-egy évet kapnak, mert ebben az esetben a bűnösségük bizonyítéka kicsi lesz.
3. Az egyik tanúskodik és kiszabadul, míg a másik hallgat, és 5 év börtönt kap.

Az ügy kimenetele nyilván mindkét résztvevő döntésétől függ, de nem tudnak megegyezni, mert különböző cellákban ülnek. Jól látható a személyes érdekeik ütközése is a közös érdekért folytatott küzdelemben. Mindegyik fogolynak két cselekvési és 4 kimenetelű lehetősége van.

Logikai következtetések lánca

Tehát, A elkövető a következő lehetőségeket fontolgatja:

1. Csönd vagyok és a párom hallgat – mindketten 1 év börtönt kapunk.
2. Beadom a páromat, ő pedig engem – mindketten 2,5 év börtönt kapunk.
3. Csönd vagyok, és a párom elárul – 5 év börtönt kapok, és szabad lesz.
4. Átadom a páromat, de hallgat - szabadságot kapok, ő pedig 5 év börtönt kap.

Az egyértelműség kedvéért adjunk egy mátrixot a lehetséges megoldásokról és eredményekről.

A fogolydilemma lehetséges kimeneteleinek táblázata.

A kérdés az, hogy mit választanak az egyes versenyzők?

"Légy csendben, nem tudsz beszélni" vagy "Nem lehetsz csendben, nem tudsz beszélni"

A résztvevő választásának megértéséhez végig kell mennie a gondolatai láncán. A bűnöző indoklása nyomán: ha én hallgatok és a párom hallgat, minimális futamidőt kapunk (1 év), de énNem tudom, hogyan fog viselkedni. Ha ellenem tanúskodik, akkor jobb, ha tanúskodok, különben leülhetek 5 évre. Inkább leülök 2,5 évre, mint 5 évre. Ha hallgat, akkor még inkább tanúskodnom kell, mert így megkapom a szabadságomat. Résztvevő B.

Nem nehéz belátni, hogy az egyes elkövetők domináns stratégiája a tanúskodás. A játék optimális pontja akkor jön el, amikor mindkét bűnöző tanúskodni kezd, és megkapja a "díját" - 2,5 év börtönt. A Nash játékelmélet ezt egyensúlynak nevezi.

Nem optimális optimális Nash-megoldás

A Nashian nézet forradalmi természete az, hogy egy ilyen egyensúly nem optimális, ha figyelembe vesszük az egyéni résztvevőt és önös érdekeit. Végül is a legjobb megoldás az, ha csendben maradsz, és szabadon maradsz.

A Nash-egyensúly az érdekek konvergenciapontja, ahol minden résztvevő csak akkor választja ki a számára optimális lehetőséget, ha a többi résztvevő egy bizonyos stratégiát választ.

Figyelembe véve azt a lehetőséget, amikor mindkét bűnöző hallgat, és csak 1 évet kap, ezt Pareto-optimális lehetőségnek nevezhetjük. Ez azonban csak akkor lehetséges, ha a bűnözők előre megegyeztek. De még ez sem garantálná ezt az eredményt, hiszen nagy a kísértés a megállapodástól való visszavonulásra és a büntetés elkerülésére. Az egymás iránti teljes bizalom hiánya és annak a veszélye, hogy 5 év elismeréssel válasszunk. Gondolja át, hogy a résztvevők mit fognak betartaniA csend és az összehangolt cselekvés egyszerűen irracionális. Ilyen következtetést vonhatunk le, ha a Nash-egyensúlyt vizsgáljuk. A példák csak azt igazolják, hogy igazad van.

Önző vagy racionális

A Nash egyensúlyelmélet megdöbbentő következtetéseket vont le, amelyek megcáfolták a korábban létező elveket. Például Adam Smith minden résztvevő viselkedését teljesen önzőnek tartotta, ami egyensúlyba hozta a rendszert. Ezt az elméletet „a piac láthatatlan kezének” nevezték.

John Nash látta, hogy ha minden résztvevő a saját érdekei szerint cselekszik, az soha nem vezet optimális csoporteredményhez. Tekintettel arra, hogy a racionális gondolkodás minden résztvevőben benne van, a Nash egyensúlyi stratégia által kínált választás valószínűbb.

Tisztán férfikísérlet

Egy jó példa erre a szőke paradoxon játék, amely bár látszólag oda nem illő, jól szemlélteti a Nash-játékelmélet működését.

Ebben a játékban azt kell elképzelni, hogy egy társaság szabad srácokból érkezett egy bárba. A közelben van egy lányos társaság, akik közül az egyik jobb, mint a többi, mondjuk egy szőke. Hogyan viselkednek a srácok, hogy a legjobb barátnőt szerezzék meg maguknak?

Szóval a srácok indoklása: ha mindenki elkezd ismerkedni a szőkével, akkor nagy valószínűséggel senki sem fogja meg, akkor a barátai nem akarnak majd ismerkedni. Senki sem akar a második tartalék lenni. De ha a fiúk úgy döntenek, hogy elkerülikszőke, akkor nagy a valószínűsége annak, hogy a fiúk mindegyike jó barátnőt talál a lányok között.

A Nash egyensúlyi helyzet nem optimális a pasik számára, mert csak a saját önző érdekeit követve mindenki a szőkét választaná. Látható, hogy a kizárólag önző érdekek követése egyenértékű lesz a csoportérdekek összeomlásával. A Nash-egyensúly azt jelenti, hogy minden srác a saját érdekei szerint cselekszik, amelyek az egész csoport érdekeivel érintkeznek. Ez nem mindenkinek személyesen a legjobb megoldás, de mindenki számára a legjobb, a siker általános stratégiája alapján.

Az egész életünk egy játék

A döntéshozatal a való világban nagyon hasonlít egy játékhoz, ahol más résztvevőktől is elvársz bizonyos racionális viselkedést. Az üzleti életben, a munkahelyen, a csapatban, a társaságban, sőt az ellenkező nemmel való kapcsolatokban is. A nagy üzletektől a hétköznapi élethelyzetekig minden betartja egyik vagy másik törvényt.

Természetesen a fenti játékhelyzetek bûnözõkkel és egy bárral csak kiváló illusztrációk, amelyek bemutatják a Nash-egyensúlyt. Ilyen dilemmák nagyon gyakran előfordulnak a valós piacon, és ez különösen akkor működik, ha két monopolista irányítja a piacot.

Vegyes stratégiák

Gyakran nem egy, hanem több játékban veszünk részt egyszerre. Ha az egyik játékban egyet választasz, racionális stratégia által vezérelve, de végül egy másik játékba kerülsz. Néhány racionális döntés után rájöhetsz, hogy az eredmény nem tetszik. Mitvenni?

Vegyünk kétféle stratégiát:

• A tiszta stratégia a résztvevő viselkedése, amely abból fakad, hogy átgondolja a többi résztvevő lehetséges viselkedését.
• A vegyes stratégia vagy véletlenszerű stratégia tiszta stratégiák véletlenszerű váltakozása, vagy egy tiszta stratégia bizonyos valószínűséggel történő kiválasztása. Ezt a stratégiát véletlenszerűnek is nevezik.

Ezt a viselkedést figyelembe véve új pillantást kapunk a Nash-egyensúlyra. Ha korábban azt mondták, hogy a játékos egyszer választ egy stratégiát, akkor más viselkedés is elképzelhető. Feltételezhető, hogy a játékosok bizonyos valószínűséggel véletlenszerűen választanak stratégiát. Azok a játékok, amelyek nem találják meg a Nash-egyensúlyt a tiszta stratégiákban, mindig vegyes stratégiákban vannak.

A kevert stratégiákban a Nash-egyensúlyt kevert egyensúlynak nevezzük. Ez egy olyan egyensúly, amelyben minden résztvevő kiválasztja a stratégiája kiválasztásának optimális gyakoriságát, feltéve, hogy a többi résztvevő egy adott gyakorisággal választja ki stratégiáját.

Büntetők és vegyes stratégia

Példát találhatunk a vegyes stratégiára a futballban. A vegyes stratégia legjobb példája talán a tizenegyespárbaj. Tehát van egy kapusunk, aki csak egy sarokba tud ugrani, és egy játékos, aki végrehajtja a büntetőt.

Tehát, ha a játékos az első alkalommal a bal sarokba lövés stratégiáját választja, és a kapus is ebbe a sarokba esik és elkapja a labdát, hogyan alakulhatnak a dolgok a második alkalommal? Ha a játékosa szemközti sarokba fog ütni, ez valószínűleg túl nyilvánvaló, de az ugyanabba a sarokba ütés sem kevésbé nyilvánvaló. Ezért a kapusnak és a rúgónak sincs más választása, mint a véletlenszerű kiválasztásra hagyatkozni.

Így a véletlenszerű kiválasztást egy bizonyos tiszta stratégiával váltogatva a játékos és a kapus a maximális eredményt próbálja elérni.